关注核心概念，让思想自然流淌
“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”课题组（初中）第四次研讨会，于2009年4月17日—18日在北京市第166中学举行．本次会议分别以“平行四边形的性质”、“平均数”、“抽样调查”为题，分别请湖北省荆州市实验中学王用华和天津市大港区油田四中张淑媛就“平行四边形的性质”以同课异构的方式呈现了两节研讨课，请北京市第166中学张韬上了“抽样调查”一课，请山西省阳泉市平定县南坳中学赵军才老师上了“平均数”一课．与会代表围绕课题研究的核心内容，以这四节课为载体展开了反思、交流与研讨．
一、剖析数学核心概念和思想方法
1. 关于平行四边形的性质
平行四边形的性质是本章的第一课时，其内容包括平行四边形的定义和平行四边形的性质．由于小学阶段已经学习过有关平行四边形的知识，学生曾经通过动手测量和观察，知道平行四边形的定义和性质，因此，本节课如何处理平行四边形概念和性质成为与会者讨论和反思的一个焦点．
天津李果民认为，这节课的核心是平行四边形的定义和性质，涉及三个重要的问题，一是如何给一个新概念下定义，即属加种差，后面几种特殊四边形也都是这么定义的．尽管小学学习过平行四边形定义，但这节课是给学生一个科学的思维方式．平行二字是从边的位置出发的，所以用边平行定义．二是要强调推理论证，渗透推理必要性．三是平行四边形向三角形转化的思想．辅助线如何自然是课堂教学实践的问题．
通过研讨反思，大家取得一致认识：尽管在小学阶段学习了平行四边形的概念和有关性质，但更多是从平行四边形的整体上获得的感性的认识．这节课要从平行四边形与一般四边形的关系入手，通过对平行四边形的特殊属性—两组对边分别平行的分析，揭示它与一般四边形之间的属种关系，进而向学生渗透给概念下定义的一种重要方式：属加种差．这种定义概念的方式将在本章中反复出现，因此，在第一课时中明晰这种定义方式有助于学生形成数学思维方法．
当然，对这种给概念下定义的方式的深入分析和理解还需要在本章结束时进一步梳理．届时，学生已经学习了多种特殊四边形的相关知识，因此，能够更清楚地看到同一邻近属概念（平行四边形）下的不同种概念（几种特殊平行四边形）之间的种差，这将有助于学生把握本章中其他特殊四边形之间的区别与联系．
对平行四边形性质的学习，是重视探究过程还是注重证明过程也是讨论中大家关注的话题，经过研讨和反思，大家一致认为，由于在小学阶段，通过动手活动，学生已经对平行四边形的有关性质有所了解，因此，这节课不应该把动手探究过程作为一个重要内容处理，而是在回顾所学性质的基础上，把教学重点放在对性质的证明上．这样处理的理由是，通过证明过程，一方面可以着重对学生进行演绎推理能力的训练，另一方面，可以渗透证明中蕴含重要的数学思想---转化．
此外，作为本章的第一课时，或者说一章的初始课，应该怎样上也成为大家议论的一个焦点．有教师认为，作为一章的初始课要清楚地说明这一章的重要内容和学习的基本方法，特别是学习方法，属于认知策略性知识，对后续探究性学习具有重要的指导作用．因此，上课之初应对本章内容和研究方法进行简要说明，如，本章将要学习四边形家族中哪些特殊四边形，以此让学生对全章内容有一个大致了解．再如，通过回顾和类比三角形的学习过程，让学生了解，对每一个特殊四边形的学习都要经历这样的过程：给概念下定义，探索其性质，研究其判定方法．对于每一种特殊四边形性质和判定方法的研究，主要是针对图形中特殊线段、特殊角的关系进行研究．
这里还需要指出的是，大家对证明过程中蕴含的转化思想是怎样体现的尚未达成一致意见，一种看法是转化思想体现为把四边形问题转化为三角形问题；另一种看法是，转化思想体现为把证明线段相等或角相等问题转化为三角形全等．这两种转化的方向恰好相反，前一种转化的方向是从整体—四边形到局部—三角形；后一种转化的方向是从局部—线段或角到整体—三角形．笔者认为，后一种认识更贴近学生思维的真实过程，因为思想方法大多是发生在问题解决之初，为问题解决指明方向或提供方法．在证明平行四边形对边相等、对角相等之前，学生已有认知结构中存在证明线段相等和角相等的有关策略—“三角形全等”，因此，当学生看到所要求证的结论时，想到的首先是上述策略，进而思考如何构造两个全等三角形．根据已有经验（三角形内角和定理证明），若要构造三角形，自然会想到借助于辅助线，因此，辅助线引入水到渠成自然流畅．
2. 关于抽样调查
大家一致认为，利用样本数据特征估计总体的数据特征是“抽样调查”这一课时的数学思想，其核心体现为估计的科学性，即借助于样本的数据特征推断总体的数据特征．随机性伴随抽样调查，即每一次抽样得到的数据可能与总体相应的真值存在差异，不同批次的抽样得到的数据之间存在差异．在操作中，样本的代表性是抽样调查的核心技术问题．代表性涉及到样本的抽取方法，样本数量多少，这些因素影响到估计的准确程度．
比较全面调查与抽样调查的优缺点常常是深化理解两种数据收集方法的有效办法．抽样调查常常用于被调查的总体中个体数量较大，甚至是无限多个；或调查过程具有较大损耗和破坏性，但并不是说抽样调查只能用于这样的调查，这与问题解决的要求密切相关．值得注意的是，调查方法的选择与抽样调查和全面调查的优劣并无直接关系，特别是准确性的问题，不能说全面调查就一定比抽样调查更精确（详见本期论文：初中抽样调查教学中四个基本问题的探讨）．
3. 关于平均数
学生对平均数并不陌生，但如何理解“权”的意义关系到教师如何处理教材，如何进行教学设计，甚至关系到教学手段的选择．广州许世红老师认为，权即“权衡轻重”，根据权在统计中的具体应用主要有以下几种常见的基本分类：（1）从取值形式看，权可以取正整数，也可以是零或正小数．（2）从表现形式看，权有绝对权和相对权两种．绝对权是以总量指标形式表示的．例如：在分组情况下，计算平均成绩时，以各组学生人数为权．相对权是以相对数形式表示，这个相对数可以与被平均的变量有着数量上的直接关系，也可以没有数量上的直接关系．例如：计算平均成绩时，可以用各组学生人数占总人数的比重为权．（3） 从产生方式看，权有自然权和人工权之分．自然权是指通过变换统计资料的表现形式（如对统计资料进行分组）而得到的一种统计权，如人教版课标教材8年级下20.1数据的代表中的探究问题（5路公共汽车载客量计算）中的权，这种权往往具有确定性和客观性．而人工权指根据一定的研究目的而人为构造的、以反映各项标志值重要程度的统计权，如演讲比赛各项成绩（演讲内容、演讲能力、演讲效果）的权，这种权具有主观性和假定性，因此，往往表现出不确定性和多元性的特征．（4） 从与待加权的标志值的关系来看，权数有相关权和独立权之分．相关权，其数值大小与被加权的标志值大小有关；独立权，其数值大小与被加权的标志值大小无关．
二、有效落实核心概念和思想方法的教学设计
1.关注认知起点
著名美国认知心理学家奥斯贝尔说过，如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学．因此，教学设计必须尊重学生现有的知识经验和认知发展水平．本次课题研讨会让大家充分地理解了这一点．例如，针对平行四边形的性质，很多老师都认为，课堂教学首先由搞清楚学生认知基础是什么，小学已经学习过了，这里再进行探究猜想验证就是花架子．初中阶段的主要任务是论证，包括其中填辅助线的方法，八年级更应当注重演绎推理．课堂教学中，学生对教师提出动手的要求相应不积极，其主要原因是学生对平行四边形的性质已经了然于胸．
再比如，在抽样调查一课的教学目标中，如何让学生感受到这种思想，感受到什么程度是教学中难以把握的，因此，这些问题备受关注，换句话说，在课堂上，怎样使学生感受到抽样调查的必要性，抽样调查的科学性，抽样调查与全面调查各自的优势和不足，样本的代表性等等，是本节课不容回避的问题．
在日常生活中，学生已经积累了很多关于抽样调查的经验，对抽样调查的必要性已经有了初步的认同，对样本选择的代表性问题也有所感悟，但这些经验、认识和感悟更多地是感性的，没有从数学理性的高度加以系统地认识，因此，当某些具体问题出现时，学生可能会在抽样调查与全面调查的方法选择上产生疑惑，对样本如何选择不知所措，甚至对这种思想方法的科学性产生质疑．正是基于这样的认知冲突，经验的、感性的认识才得以提升，使之达到数学的理性境界；正是基于这样的认知冲突，学生猜感受到数学的魅力．因此，我们在进行教学设计时必须尊重学生现有的知识经验，并在此基础上进行有效地数学化．
2.放飞学生的思维
本次会议达成的一个共识是，教师需要进一步放手，让学生独立解决问题．从四节观摩课的教学实际情况看，教师设计的问题中留给学生的探究空间太小，对学生的思维牵制太多，没能让学生放开思维．北京一中王坤老师认为，课堂上应当完全放手，把问题抛给学生，完全由学生来证明，老师只负责完善与整理．如果教师过多引导，牵着学生想到类似于课本提供的证法，边角同时证，那么证明的技巧性太强，过于精致，与学生的自然思维差距比较大．如果针对不同的两条性质，让学生自己思考，那么学生可能先证角相等，然后再证边相等．因此，我们是否可以多立足于学生的“学”与“取”，而少立足教师的“教”与“给”．
关于自主探究，很多教师都认识到，在实践中，探究式教学很容易流于形式，走向两个极端：“探究活动”成为引诱学生钻教师预设的“圈套”，没有丰富的探究空间；抑或“探究活动”成为一种“标签”，学生其实没有真正地进行探究活动，而是被教师牵着鼻子去发现“新知识”．比如，在这堂课中，教师让学生画一个平行四边形，再让学生度量边和角，让学生得出对边和对角相等的结论．为什么只度量边和角？这样的探究，名义上是探究，实际上还是老师让做什么，学生就跟着做什么．看起来学生亲自动手了，实际上不过是贴了一个“探究活动”的标签而已，学生的动手根本就不是自主探究．
由于这种标签式的探究活动过多地牵制了学生的思维活动，“平行四边形对角线相互平分”就不可能自然地进入学生的视野范围内，探究活动就会成为了穷途末路．
3.在具体真实的情境中感受数学
在课堂教学中，应该让学生亲身经历抽样调查全过程，感受数据生成的真实过程．章建跃谈到，初中教学有两个任务，一是教知识，但更重要的是教思想．统计思想是很难概括的，如果用一两句话概括，那就是归纳的思想．课堂教学中如何落实？经历统计的全过程，亲自让学生收集数据，这是第一要点．收集数据了，一系列东西就出来了．但日常教学中，很少让学生经历收集数据过程．这就是说，只有在具体真实的情景中学习统计知识，才能让学生感受到统计的味道，脱离真实情景统计的味道就淡化了，随之强化的是算数的味道．
此外，为体现问题情境的真实性，问题中的数据要真实．讨论中，大家认为，招聘数据太明显，不算就能看出来，数据倾向性太强，无需加权平均数就可以作出判断．
4.防止多媒体喧宾夺主
在上课期间，偶遇停电，打乱了教师使用多媒体的教学设计，虽然上课教师沉着地处理了这一偶发事件，但怎样应用多媒体教学手段再一次引起大家关注．北京邵海磊老师认为，多媒体教学只是辅助教学，课件是辅助教学的手段，其根本目的在于促进学生对数学的认识和理解．虽然课件中已将所需图形准备好，但并不能完全代替现场在黑板上画图．教师在黑板上作图，一方面要边读题变画图，借助于这个过程可以向学生示范将数学文字或符号语言怎样转化为数学图形语言．另一方面有助于学生形成和发展图形的想象能力．此外，脱离了多媒体的限制，课堂教学灵活性会更大，学生思维会更灵活．比如，对于辅助线的添加，学生可能有不同的做法，教师应当根据学生的提法，及时灵活应地在黑板上结合图形加以说明．
湖北吴明龙质疑，几何教学性质的推理论证，要不要利用投影设备学生说一句，老师在大屏幕上显示一句．对于八年级的学生，应该自己完成动手书写证明过程，以此发展学生书面表达能力．因此，此处利用多媒体设备呈现证明过程会阻碍数学表达能力的发展．
三、怎样才能有效反思
如何判断教学设计的有效性是课题开展研究以来一直关注的问题之一，本次会议在课后检测方面做了一点尝试．每一节课结束后，都对学生的学习情况进行了书面测试，并把书面测试结果及时反馈给与会教师，希望能从学生的作业反馈中寻找到一些信息，用以支持对教学设计有效性合理性的推测．当然，如果能有对比班参与测试，那么对两组数据比较分析将对课题研讨更有参考价值．
在尝试书面测试过程中，大家也意识到，试题本身能否体现对核心数学概念和数学思想方法的考查力度，关系反馈信息的质量，进而会影响我们对教学设计有效性的判断．因此，设计高质量的测试题目将是下一阶段课题研究的另一个问题．
在探索书面测试的同时，如何进行有效反思也是课题组关心的问题．人教社章建跃指出，反思不是记流水帐，要针对具体现象和问题进行分析和概括．辽宁景敏认为，课后反思的逻辑起点是从课前的教学设计开始的，反思是把教学实践获得的感受与教学设计中的设计意图进行对比，确切地说，是把学生的实际行为与设计的目的进行对比的过程．因此，设计意图越明确，对比就会越有成效．通过反思，教师能更好地理解学生现有的认知发展水平，从而使今后的教学更符合学生的认知规律．
此外，写反思时要把教学片段尽可能详细地描述来，针对描述中出现的行为进行分析，从中抽象出观点或结论，这样的反思可读性强
